✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est une primitive

Méthode

Pour vérifier qu'une fonction \(F\) est une primitive de \(f\)  sur un intervalle \(I\) , 

• on calcule la dérivée de \(F\) sur \(I\) ;
  
• on vérifie que l'expression  \(F'(x)\) obtenue est bien égale à \(f (x)\) .
  

Énoncé

Soit  \(f\)  et  \(F\)  les fonctions définies sur  \(]0~;+\infty[\)  par  \(f (x) = \ln x\) et \(F(x) = x \ln x-x\) .
Vérifier que \(F\) est une primitive de \(f\) sur  \(]0 \ ;+\infty[\) .

Solution

On dérive la fonction \(F\)   définie   et dérivable sur  \(]0~;+\infty[\)  en utilisant la dérivée d’un produit et d'une somme. 
Pour tout réel \(x > 0\) , on a \(F'(x) = 1\times \ln x +x \times \dfrac 1x -1 = \ln x + 1-1=\ln x=f(x)\) .
Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur  \(]0 \ ;+\infty[\) .